Autor: Witold Kwaśnicki
Wersja PDF

analiza wymiarowaW ekonomii głównego nurtu (a zwłaszcza w ekonomii neoklasycznej) fizykę uznaje się za metodologiczny wzorzec. Jeśli tak, to ekonomiści głównego nurtu, wykorzystując formalizm matematyczny do opisu zjawisk gospodarczych, także powinni przestrzegać analizy wymiarowej (czyli dokonywać tzw. rachunku mian). W istocie każdy z nas (świadomie albo nieświadomie) stosuje lub stosował analizę wymiarową[1]. Przypomnijmy sobie nasze zmagania z fizyką w szkole średniej czy na studiach. Kiedy zdarzało nam się zapomnieć jakiegoś wzoru fizycznego, ale „widzieliśmy jego kształt” w zarysach (np. wiedzieliśmy, jakiego rodzaju zmienne występują we wzorze), to do prawidłowej postaci tego wzoru dochodziliśmy niejako „od tyłu”, stosując rachunek mian, tak by zgadzały nam się wymiary po jednej i po drugiej stronie znaku równości. Dlaczego zatem ekonomiści tak bardzo stronią od analizy wymiarowej?

Problem braku analizy wymiarowej w analizie ekonomicznej przedstawił William Barnett II w swoim artykule z 2003 r., opublikowanym w „Quarterly Journal of Austrian Economics”. W 2006 r. zaprosiliśmy polskich ekonomistów do zabrania głosu w tej sprawie, zadając im pytania: Czy zidentyfikowana przez Barnetta niekonsekwencja i niespójność w stosowaniu wymiarów przez ekonomistów naprawdę stanowi poważną przeszkodę w naśladowaniu metod nauk ścisłych i stosowaniu w ekonomii matematyki? Czy deprecjonuje ona wcześniejsze osiągnięcia teoretyczne, czy też jest to może sprawa błaha, która nie podważa gmachu nauk ekonomicznych? Czy wymiary mają w ekonomii takie samo znaczenie jak w fizyce lub inżynierii? Czy w związku z tym bezwzględnie muszą być stosowane konsekwentnie i prawidłowo? Czy bagatelizowanie tego problemu nie jest przejawem przysłowiowego chowania głowy w piasek? Czy Barnett sam jest „genialnym idiotą” (takiego określenia używa w swoim artykule), cierpiącym na dyskalkulię (co zarzuca swoim recenzentom), czy też jest pierwszym odważnym, który nie zawahał się powiedzieć: Król jest nagi? Odpowiedzi udzieliło ośmiu ekonomistów, a ich wypowiedzi opublikowano w „Studiach Ekonomicznych”[2].

W tym artykule (który jest pokłosiem spotkania w ramach Letniego Seminarium Ekonomicznego 2011[3]) chciałbym wrócić do dyskusji zainicjowanej w 2006 r., dokonać krytycznej analizy tekstów opublikowanych w „Studiach Ekonomicznych” oraz skomentować je w kontekście oryginalnej publikacji Charlesa Wigginsa Cobba i Paula Howarda Douglasa z 1928 r.[4]

Zainteresowanym zastosowaniem analizy wymiarowej można polecić książki polskich autorów: Wacława Kasprzaka i Bertolda Lysika (1978) oraz Wacława Kasprzaka, Bertolda Lysika i Marka Rybaczuka (1990); czytelnik odnajdzie tam również podstawy teoretyczne analizy wymiarowej[5]. Szukając literatury odnoszącej się do analizy wymiarowej, dowiedziałem się o książce Dimensional Analysis for Economists[6]. Niestety, nie udało mi się do niej dotrzeć i przeczytać, ale jak można sądzić z tytułu i roku wydania, problemy analizy wymiarowej w ekonomii były przedmiotem dyskusji na kilkadziesiąt lat przed tym, jak ów problem postawił Barnett.

Wiele wskazuje na to, że postrzeganie przez ekonomistów fizyki jako „twardej nauki” jest nie do końca słuszne. Rozwój fizyki wiąże się nie tylko z rozwojem analizy formalnej. Albert Einstein w swoim gabinecie w Institute for Advanced Study miał wywieszone motto: „Nie wszystko, co się liczy, może zostać policzone i nie wszystko, co może zostać policzone, liczy się”. Natomiast Richard Feynman powiedział swego czasu, że „rozumienie sensu matematycznego równań nie oznacza rozumienia fizyki”. Czy tak lubiący formalne, matematyczne podejście ekonomiści głównego nurtu nie powinni wziąć sobie do serca przesłania Feynmana: „zanim zacznę szukać rozwiązania, najpierw muszę mniej więcej zrozumieć, jak ono wygląda. […] muszę mieć jakościowe wyobrażenie zjawiska, żeby móc je opisać na poziomie ilościowym”[7]?

Jest prawdą, że fizycy w odróżnieniu od ekonomistów, po wielu dekadach dyskusji, doszli do konsensusu, że wymiary wszystkich używanych przez nich zmiennych mogą być wyrażone jako pochodne siedmiu wielkości fizycznych: długości, masy, czasu, natężenia prądu elektrycznego, temperatury, natężenia światła (światłości) i liczności materii (w tzw. międzynarodowym układzie miar SI — Système International d’Unités — odpowiadają im następujące jednostki fizyczne: metr, kilogram, sekunda, amper, kelwin, kandela i mol). Dwie jednostki pochodne, mianowicie radian i steradian (będące miarami kąta płaskiego i kąta bryłowego), nie mają wymiarów (są liczbami niemianowanymi — patrz załącznik). Wymiary wszystkich innych wielkości (zmiennych) wynikają z odpowiednich równań, np. fizycy wyrażają moc w watach (W) — wymiar tej jednostki wynikający z definicji mocy jest równy [kg · m2 · s-3], a przewodność elektryczną w simensach (S) — o wymiarze [kg-1 · m-2 · s3 · A2].

Każde poprawne równanie musi być wymiarowo spójne, tzn. wymiary lewej i prawej strony muszą być takie same, czyli:

Na przykład modelowanie siły tarcia spowodowanej oporem powietrza prowadzi do zależności:

skąd MLT2 = [k][LT1]2 = [k]L2T2,

czyli [k] = ML1,

tzn. k musi by mierzone w kg/m.

 

Przypuśćmy, że budujemy model, który będzie określał okres wahadła t. Lista czynników wpływających na t może obejmować długość wahadła l, jego masę m, przyspieszenie ziemskie g i kąt maksymalnego wychylenia Θ. Załóżmy, że:

t = k lambgcΘd,

gdzie: a, b, c, d oraz k to liczby rzeczywiste.

Dla wymiarów musi zachodzić: [t] = [k lambgc Θd].

Zatem T = LaMb (LT-2)c, czyli: T = La + cMbT-2c;

k i Θ są wielkościami bezwymiarowymi. Przyrównanie potęg przy odpowiednich zmiennych po lewej i prawej stronie równania daje:

a + c = 0, b = 0, −2c = 1,

skąd: t = k l1/2g -1/2 Θd.

Powyżej d może przyjąć dowolną wartość, zatem możemy zapisać, że:

Funkcję f(Θ) należy znaleźć w inny sposób. Dla małych wahań (małego Θ) okres nie zależy od amplitudy, nie zależy też od masy i jak wiemy z kursu fizyki, okres wahań może być wyrażony wzorem:

 

Dla sławnego równania grawitacji Isaaka Newtona opisującego siłę, z jaką przyciągają się dwie masy m1 i m2, których środki ciężkości są odległe od siebie o r, mamy:

 

Zgodnie z postulatami analizy wymiarowej wymiar stałej grawitacji k (której wartość została określona eksperymentalnie) jest równy:

Podążając za podejściem neoklasycznym, podobnej analizy należałoby dokonywać w badaniach ekonomicznych, także w przypadku powszechnie używanej w ekonomii neoklasycznej funkcji produkcji[8] określającej maksymalne rozmiary produkcji Q, jakie są możliwe do osiągnięcia przy różnym poziomie nakładów (czynników produkcji) x1, x2, … xn:

 

Jeśli takimi podstawowymi czynnikami są kapitał (K) i praca (L), to tzw. funkcja produkcji Cobba–Douglasa przyjmuje postać:

gdzie A to stała określająca zdolności technologiczne systemu.

Barnett w swojej pracy proponuje dokonanie takiej analizy wymiarowej dla produkcji „pewnego specyficznego dobra, które nazwiemy wihajstrami”. Dalej pisze:

 

Jeżeli wymiary zostały zastosowane prawidłowo, to produkcja, kapitał i praca muszą mieć zarówno wielkość, jak i wymiar(-y), a α i β są samymi liczbami. Załóżmy na przykład, że:

(1) Q jest mierzone w wihajstrach/czas [whj/rok];

(2) K jest mierzone w maszynogodzinach/czas [mg/rok]; oraz

(3) L jest mierzone w roboczogodzinach/czas [rg/rok].

Zatem analiza wymiarowa funkcji produkcji Q = AKαLβ pozwala ustalić, że A (= Q/KαLβ) jest mierzone w: [wihajstry/czas]/[(maszynogodziny/czas)α • (roboczogodziny/czas)β]; tj. w:
[whj rokα + β - 1]/[mgαrgβ].

 

Barnett w swoim artykule stawia dwa podstawowe zarzuty wobec neoklasycznej funkcji produkcji. Mianowicie, że prawidłowe użycie wymiarów prowadzi do używania wymiarów niemających uzasadnienia lub sensu ekonomicznego oraz że „te same stałe lub zmienne posiadają różne wymiary, czyli tak jakby prędkość mierzyć raz w metrach na sekundę, a kiedy indziej w samych metrach lub w metrach do kwadratu na sekundę”.

Jeśli chodzi o pierwszy zarzut, to rzeczywiście niekiedy wymiary niektórych zmiennych ekonomicznych mogą sprawiać dziwne wrażenie i czasami trudno znaleźć jakieś sensowne uzasadnienie tych wymiarów. Możemy jednak powiedzieć, że takie „dziwne” wymiary mogą mieć zmienne fizyczne (popatrzmy choćby na wymiary niektórych z nich, przedstawione w załączniku). Duży niepokój natomiast musi budzić to, że przy dowolnych rzeczywistych wartościach α i β w wymiarach mogą występować potęgi niewymierne (i pod tym względem należy się zgodzić z Barnettem). Jeśli w fizyce występują wymiary z „dziwnymi” potęgami, to zwykle są to liczby wymierne, a najczęściej liczby całkowite.

Drugi zarzut Barnetta dotyczący niestałości wymiarów jest według mnie znacznie poważniejszy. Jeśli porównamy np. wymiary stałych proporcjonalności w prawie grawitacji (k) oraz w funkcji Cobba–Douglasa (A) to trzeba się zgodzić z Barnettem, że dla stałej grawitacji k wynik jest niezmienny dla niezliczonych pomiarów od przeszło trzech wieków: „niezależnie od wartości wymiary zawsze miały postać odległość3/(masa • czas2); tj. w układzie mks [m3/(kg • s2)]”.

W analizie ekonomicznej jest całkowicie odmiennie. Wartości α i β zmieniają się nie tylko w przypadku zastosowania jej do różnych produktów czy różnych krajów, ale różnią się także w zależności od tego, jaki okres do ich określania jest wybierany. Jeśli zatem w ekonomii neoklasycznej prawidłowo użyjemy analizy wymiarowej, to uzyskamy niestałe wymiary. Jak pisze Barnett, problem ten „staje się jednak oczywisty tylko wtedy, gdy wymiary są poprawnie zawarte w modelu, co jest rzadkim przypadkiem w modelowaniu ekonomicznym”.

Na przykład (przy standardowym neoklasycznym założeniu substytucyjności kapitału i pracy, czyli założeniu, że α + β = 1) szacunkowe wartości α  podawane przez Coego i Helpmana (1995) dla krajów OECD (na podstawie danych z lat 1987–1989) to 0,335, dla Niemiec 0,401, Szwajcarii 0,211. Dla Polski szacunki Leszka Zienkowskiego (dla lat 1992–2000) wskazują, że α  = 0,47 − 0,5, natomiast Ryszard Rapacki (dla lat 1990–2000) podaje, że α  = 0,35, a Władysław Welfe uważa, że α  = 0,48[9].

Zdaniem Barnetta stanowi to poważny problem: ponieważ „A posiada zarówno wartość, jak i wymiary, to różne wartości α i β oznaczają różne wymiary A i mimo że wymiary, w jakich dokonuje się pomiaru: Q, K i L, są stałe, to wymiary A są zmienne”.

Trafna jest też uwaga Barnetta:

 

[p]rzyszłe pokolenia ekonomistów są kształcone w błędnej tradycji, ponieważ ich młode umysły są kształtowane przez właśnie takie publikacje. I dopóki się to nie zmieni, a ekonomiści nie zaczną używać wymiarów w sposób konsekwentny i prawidłowy (o ile to w ogóle możliwe), to ekonomia matematyczna i jej empiryczne alter ego — ekonometria — nadal pozostaną akademickimi gierkami i „rygorystycznymi” pseudonaukami. Z powodu wpływu, jaki ekonomiści wywierają na politykę rządu, takie pseudonaukowe gierki nie odbywają się jednak bez kosztów, które ponosi się w realnym świecie.

 

Barnett wysłał ten artykuł do jednego z najznakomitszych czasopism głównego nurtu, gdzie bardzo często są publikowane prace, w których punktem wyjścia jest funkcja Cobba–Douglasa, a mianowicie do „The American Economic Review”. Warto przeczytać zamieszczoną przez Barnetta komunikację z wydawcą i recenzentami[10]. Tutaj przypomnimy tylko trzy fragmenty. Jeden z recenzentów twierdzi, że „[a]naliza wymiarowa ma zastosowanie tylko w przypadku praw”, zatem nieuzasadnione jest krytykowanie funkcji produkcji z punktu widzenia analizy wymiarowej. W innym miejscu recenzent uważa, że podobny brak dbałości o konsekwentne stosowanie wymiarów pojawia się także w fizyce. Podaje przykład, pisząc:

 

[…] rozwiązanie problemu [ruchu harmonicznego prostego] stanowi […], że x = cos(8t), gdzie x jest długością łuku […] mierzoną w metrach, a t jest czasem mierzonym w sekundach. Więc dokładnie jakiego rodzaju stałej przeliczeniowej chce pan użyć, żeby zamienić czas na długość? Z pewnością nie jest to stała, gdyż musi przejść przez wyrażenie cosinusowe (podobnie jednostki pracy i kapitału muszą przejść przez wykładniki potęgi w przykładzie [Q = AKαLβ] powyżej).

 

Aż dziw bierze, że można coś takiego napisać. Jeśli przypomnimy sobie to, czego uczyliśmy się na fizyce w szkole średniej, od razu zobaczymy, gdzie tkwi błąd takiego „rozumowania”. Ogólny wzór na ruch harmoniczny to  w podanym powyżej przykładzie amplituda A równa się ⅓, a częstotliwość ω jest równa 8; częstotliwość ma wymiar odwrotności czasu, zatem ωt jest wartością bezwymiarową. Więc gdzie tu błąd?

Drugi przykład podawany przez recenzenta z „American Economic Review”, również świadczący jego zdaniem o tym, że fizycy nie dbają o wymiary, jest zaczerpnięty z zadania zamieszczonego w jednym ze znanych podręczników fizyki:

 

[…] przypadek dotyczący przewodności cieplnej w rurach. Rozwiązaniem jest U = 699 − 216 ln(r), gdzie r to odległość w centymetrach, a U to temperatura w stopniach. Jakiego współczynnika konwersji chce pan teraz użyć, żeby przekształcić odległość na stopnie? Wnioskuję, że fizyka zawiera takie same „defekty”, gdy badamy pewne układy.

 

I znów świadczy to tylko o indolencji recenzenta. Prosty zapis rozwiązania tego zadania w „postaci ogólnej” (a nie przy użyciu konkretnych liczb) jako:

pokazuje, że uwzględnienie w ogólnym rozwiązaniu promienia odniesienie r0 powoduje, że wyrażenie pod logarytmem jest bezwymiarowe (jest liczbą rzeczywistą), czyli zgodne z analizą wymiarową.

 

Krótka krytyczna analiza uwag zawartych w artykułach polskich ekonomistów

Jak wspomnieliśmy na początku tego artykułu, ośmiu polskich ekonomistów wzięło udział w dyskusji nad artykułem Barnetta. Zasadniczo możemy powiedzieć, że wszyscy zgadzają się z opinią, iż analiza wymiarowa jest ważnym metodologicznym elementem badań naukowych i że powinno się ją stosować w analizie ekonomicznej. W większości artykułów zawarte są jednak zastrzeżenia co do wniosków Barnetta lub próba wykazania, że w istocie to, co przedstawił Barnett, nie jest żadnym problemem. Przyjrzyjmy się tym argumentom.

 

Tadeusz Bednarski, Głos polemiczny do artykułu Williama Barnetta

Trzeba się zgodzić z opinią Tadeusza Bednarskiego, że „w ekonomii brak jest podstawowych i niezależnych zmiennych, które pozwalałyby dostatecznie dokładnie wyrazić wartości innych interesujących zmiennych ekonomicznych”. Otwarte pozostaje pytanie, czy istnieje w ogóle możliwość zdefiniowania w ekonomii bazowych zmiennych (wymiarów), podobnie jak uczynili to fizycy, proponując np. układ SI?

Dosyć kontrowersyjna, ale bardzo twórcza wydaje się opinia Bednarskiego odnośnie do relacji badacza i rzeczywistości:

 

Fizyk poznaje rzeczywistość taką, jaka ona jest — niezależnie od naszego istnienia. Inaczej jest w sferze poznania ekonomicznego, gdzie obserwuje się sprzężenie zwrotne pomiędzy poziomem wiedzy i „stanem ekonomii”. Dla przykładu, określenie czynników warunkujących stabilny rozwój gospodarczy wpływa na uwarunkowania prawno-instytucjonalne, które z kolei modyfikują procesy rozwojowe. Tak więc wiedza ekonomiczna do pewnego stopnia modyfikuje „naturalne prawa” samej ekonomii, prawa wynikające z ludzkich zachowań. Trudno byłoby uwierzyć, żeby poziom wiedzy w naukach fizycznych miał wpływ na kształt obiektywnych praw fizyki.

 

Jest prawdą, że ekonomia tym się różni od fizyki (i innych nauk przyrodniczych), że obiektem jej analizy jest działający człowiek, świadomy swoich celów i mający wolną wolę. Dyskutowałbym jednak z tezą, że w odróżnieniu od fizyki w ekonomii poziom wiedzy ma wpływ na kształt obiektywnych praw ekonomii. Jak pokazuje Ludwig von Mises (choćby w swoim magnum opus: Ludzkie działanie (2007)), w ekonomii istnieją tak samo jak w fizyce obiektywne prawa, niezmienne w czasie i przestrzeni, i niezależne od ludzkiej aktywności (choć nie są to prawa formułowane w języku matematyki).

Odnośnie do naszego głównego problemu analizy wymiarowej Bednarski przyznaje, że „dla przejrzystości wniosków istotne jest każdorazowe ustalenie i opis jednostek dla poszczególnych zmiennych”. Jednak po pokazaniu przykładu (o którym poniżej) stwierdza, że „w istocie rzeczy postać funkcji wiążącej produkcję, kapitał i pracę nie zależy od przyjętych jednostek, jeśli tylko zachowana będzie zasada proporcjonalności przy wymianie zmiennych”. Z tym wnioskiem nie mogę się zgodzić. Bednarski przedstawia następujące rozumowanie:

 

Niech więc wielkość produkcji Y opisuje funkcja F (K, L), zależna od kapitału K i pracy L. Przyjmijmy, że kapitał K* (r, w, p) i praca L* (r, w, p) są funkcjami poziomu cen p, stawki płac w i stopy zwrotu z kapitału (capital rental rate) r. By maksymalizować zysk określany równaniem , trzeba policzyć pochodne cząstkowe zysku względem kapitału i pracy i przyrównać je do zera; mamy stąd:

Warunek stałego udziału płac w przychodzie, który tutaj przyjmujemy, równy α, można zapisać następująco: . Podobnie dla kapitału

Dzieląc każde z równań pierwszej pary przez odpowiednie równie drugiej pary, otrzymujemy elementarny układ równań różniczkowych, niezależnych od wyjściowych zmiennych r, w, p:

Jedynym rozwiązaniem tego układu jest funkcja:

.

Ciężko mi się zgodzić z wnioskiem wynikającym zdaniem Bednarskiego z powyższego rozumowania:

 

trudno w powyższym rozumowaniu, wolnym w zasadzie od wymiarowości, dopatrzyć się logicznej luki. W istocie rzeczy postać funkcji wiążącej produkcję, kapitał i pracę nie zależy od przyjętych jednostek, jeśli tylko zachowana będzie zasada proporcjonalności przy wymianie zmiennych. Dla przykładu: wartość produkcji w danym okresie, wielkość produkcji w tonach lub sztukach (itp.) w tym samym okresie to zmienne proporcjonalne, ich zmiana wpłynie jedynie na wartość współczynnika A, a nie na postać funkcji produkcji.

 

Według mnie wymiarowość w powyższym równaniu istnieje, choć nie jest explicite wymieniona. Mianowicie w co najmniej trzech równaniach: zysku , oraz obu warunkach:  . We wszystkich tych równaniach wymiar musi być zachowany poprzez odpowiedni wymiar funkcji . Nieprawdą jest, że zmiana wymiarów (np. z ton na sztuki) „wpłynie jedynie na wartość współczynnika A, a nie na postać funkcji produkcji”. Według mnie zmienią się zarówno wartości, jak i wymiary współczynnika A.

 

Andrzej Malawski, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w ekonomii

Andrzej Malawski od razu na początku artykułu dezawuuje pracę Barnetta, pisząc, że „problem wymiarowości w ekonomii nie stanowi jakiegoś novum”, i wskazując liczne przykłady prac polskich autorów, gdzie problem ten jego zdaniem był i jest dostrzegany. Nie wskazuje jednak, na ile tok rozumowania Barnetta jest podobny do toku rozumowania podanych przez niego autorów (lub od niego inny). W dalszej części autor ustawia problem tak, by było mu wygodnie dojść do konkluzji końcowej; pisze mianowicie:

 

Pogląd Barnetta […] że brak wymiarów wielkości ekonomicznych i ich jednostek matematyczno-statystycznej analizy zjawisk procesów gospodarczych, zaś w przypadku ich uwzględnienia wskazywana niespójność bądź zmienność stanowi jej poważne nadużycie czy wręcz dyskwalifikuje jako narzędzie badawcze na gruncie ekonomii — uważamy za skrajny i nieuzasadniony. Należy tu bowiem odróżnić co najmniej dwie kwestie: znaczenie badanego problemu w ekonomii teoretycznej i empirycznej oraz źródła ich matematyzacji. W pierwszej z nich znaczenie omawianego problemu trudno przecenić w badaniach empirycznych, domagających się pomiaru obserwowanych wielkości, co bez ustalonej jednostki (miana) wymiaru jest wykluczone. Nie wydaje się natomiast tak konieczne w analizie teoretycznej, gdzie modele matematyczne tworzące teorie ekonomiczne nie muszą przyjmować formy równań czy ich układów, ale są postacią aksjomatycznych systemów dedukcyjnych, jak m.in. teoria równowagi ogólnej, która nie pretenduje wprost do weryfikacji empirycznej, a jedynie poprzez swoje dalekosiężne implikacje logiczne […]. Krytyka owa nie uwzględnia bowiem nie tylko rozwarstwienia badań ekonomicznych na czysto teoretyczne i empiryczne, ale też zróżnicowania teoriopoznawczych interpretacji teorii ekonomicznych — co rzutuje na ostrość czy też znaczenie dyskutowanego tu problemu wymiarowości i ich relatywizację z uwagi na przyjętą perspektywę badawczą i filozoficzną.

 

W ten sposób Malawski dochodzi do konkluzji, że „praca Barnetta nie stanowi jednak wiele hałasu o nic i zasługuje na uwagę, stąd tytułowe nieco hałasu o coś. Szkoda jednak, że brak w niej części pozytywnej, co czyni ją mało konstruktywną”.

Całość tego tekstu można by zakończyć tak, jak kończą swój wywód matematycy: c.b.d.o. Mam jednak wątpliwości, czy tego typu uwagi cokolwiek wyjaśniają. Naprawdę nie wystarczy ex catedra stwierdzić, że krytyka „nie uwzględnia […] nie tylko rozwarstwienia badań ekonomicznych na czysto teoretyczne i empiryczne, ale też zróżnicowania teoriopoznawczych interpretacji teorii ekonomicznych”, i zamknąć sprawę.

 

Tomasz Żylicz, Czy w ekonomii jednostki pomiaru coś znaczą?

Tomasz Żylicz zaczyna swój artykuł dosyć optymistycznie, pisząc, że:

 

Różnica między równaniami ekonomicznymi i fizycznymi polega na tym, że te ostatnie bywają rzetelniej podbudowane empirycznie, a więc rzadziej się zdarza, iż wyrażający je wzór matematyczny jest błędny. Analiza wymiarowa pomaga znaleźć te błędy, ale nie gwarantuje ich eliminacji. Artykuł Williama Barnetta […] rzeczywiście zwraca uwagę na pewne niefrasobliwości ekonomistów, choć jego autor przesadza, twierdząc, że dorobek teorii ekonomii wymaga gruntownego przeglądu pod tym kątem.

 

Z punktu widzenia Barnetta dalszy wywód Żylicza można przyjąć dosyć pozytywnie, ponieważ pisze on:

 

W fizyce takie przeliczenia [mian – W. K.] są na porządku dziennym, więc trudno sobie wyobrazić, że ktoś mógłby posługiwać się wzorem, którego i lewa, i prawa strona wyrażone są w innych jednostkach. Inaczej jest w ekonomii. Tutaj pomiar eksperymentalny bywa często problematyczny, więc i posługiwanie się wzorami zostaje zrytualizowane tak, że użytkownik często dobrze nie rozumie, jak interpretować obliczenia.

 

Dalej autor pisze, że we wzorze , jeśli Y wyrazić w sztukach, K w złotówkach i L w dniówkach, to A powinno mieć wymiar [sztuk zł dniówka], i stwierdza:

 

Z pewnością wielu ekonomistów nie zastanawiało się nad wymiarem parametru A, zadowalając się jedynie spostrzeżeniem, że jego zmienność wyraża działanie postępu technicznego. Jeszcze mniej badaczy było zapewne zaniepokojonych faktem, że wymiar ten nie jest możliwy do apriorycznego określenia, ponieważ parametry α i β bywają wynikiem oszacowania na podstawie danych empirycznych. […] Autor [tj. Barnett – W. K.] sugeruje, że w fizyce to się nie może zdarzyć.

 

Na tym kończy się w miarę pozytywny stosunek Żylicza do artykułu Barnetta. Drugą część artykułu Żylicz zaczyna od oznajmienia: „Otóż może się zdarzyć!”, i podaje przykłady. Jeden, zaczerpnięty z popularnego podręcznika do nauki fizyki, dotyczy przemiany adiabatycznej gazów, kiedy to zmienia się objętość i temperatura gazu (przy ściskaniu) przy braku wymiany ciepła z otoczeniem. Wtedy:

gdzie p i V to odpowiednio ciśnienie i objętość gazu, a κ to parametr, którego wartość nie jest z góry określona (może mieć różne wartości — także niecałkowite i nawet niewymierne — wynikające z teoretycznych modeli budowy cząsteczkowej gazów i weryfikowane empirycznie). Jak mniemam, z pewnym zadowoleniem Żylicz stwierdza, że „stała występująca po prawej stronie nie ma żadnego ustalonego a priori wymiaru. Tak więc krytyka funkcji Cobba–Douglasa stosuje się również do modelu fizycznego adiabatycznej przemiany gazów, czego Barnett zdaje się nie dostrzegać”.

To jednak nie jest takie proste. Pozwolę sobie zatem na komentarz.

Własność łatwo wyprowadzić z równania Mendelejewa–Clapeyrona:

p – ciśnienie,  – objętość właściwa gazu, R – uniwersalna stała gazowa, m – masa cząsteczkowa, T – temperatura, V – objętość kilomola gazu.

Nie trzeba wspominać, że w równaniu Mendelejewa–Clapeyrona wszystkie jednostki (wymiary) się zgadzają. Jak najczęściej wykorzystujemy własności typu ?

Kiedy badamy dwa stany gazu, jeden przy objętości V1 i drugi przy objętości V2, znając ciśnienie p1 w pierwszym stanie, pytamy, jakie będzie ciśnienie w drugim stanie. Zatem mamy: . Stąd wyliczamy: . Wyrażenie  jest liczbą rzeczywista (bezwymiarową), κ może być zatem dowolną liczbą i wbrew temu, co twierdzi Żylicz, nie ma żadnej sprzeczności i tym bardziej podobieństwa z funkcją Cobba–Douglasa.

Jako drugi przykład podobnej „niefrasobliwości” w stosowaniu wymiarów przez matematyków i fizyków (co miałoby ich upodabniać do ekonomistów) Żylicz podaje znany wzór na przybliżenie wartości funkcji. Pisze on:

 

W wielu zastosowaniach korzystamy np. ze wzoru Maclaurina przybliżającego wartość funkcji za pomocą pochodnych tejże funkcji obliczonych w punkcie 0:

Aby ten wzór miał sens, należy rozumieć, że przy wszystkich składnikach sumy po prawej stronie stoją stałe 1 o odpowiednim wymiarze (tj. takim, żeby po pomnożeniu przez x w odpowiedniej potędze otrzymać wymiar identyczny jak dla lewej strony). Jest to zasada oczywista, której nie uwzględnia się zazwyczaj przy zastosowaniu wzoru Maclaurina.

 

Otóż moim zdaniem i tutaj Żylicz się myli, ponieważ  ma ten właśnie postulowany wymiar; np. , dx ma ten sam wymiar co x, zatem całość tego wyrażenia ma wymiar f(x). Podobnie jest z wyższymi pochodnymi f(x).

Uważam zatem, że całkowicie nieuzasadniony jest ostateczny wniosek Żylicza:

 

[n]ie można jednak zgodzić się z tezą autora [Barnetta – W. K.], iż dostrzeżony przez niego problem każe odrzucić znaczną część dorobku ekonomii, włącznie z funkcją produkcji Cobba–Douglasa. Taka reakcja jest mocno przesadzona, zaś argumenty stosowane przeciwko funkcji Cobba–Douglasa mogłyby być wysunięte przeciw wielu równaniom stosowanym w naukach przyrodniczych.

 

Pozytywne jest jednak to, że podsumowując, Żylicz stwierdza:

 

artykuł [Barnetta – W. K.] zwraca uwagę na pewien aspekt modelowania matematycznego, który jest często ignorowany w badaniach ekonomicznych. W tym sensie jest to artykuł, z którym ekonomista powinien się zapoznać.

 

Emil Panek, Uwagi na marginesie artykułu W. Barnetta „Dimensions and Economics: Some Problems

W artykule tym autor przyjmuje podobną strategię, jak opisywana wyżej: najpierw pochwalić Barnetta, a potem pokazać, że w istocie nie ma racji. Emil Panek pisze na początku:

 

[p]roblem wymiarów w tzw. ekonomii ilościowej jest oczywiście ważny, jak zresztą problem wymiarów w każdej nauce, w której posługujemy się mianami. Ekonomia nie różni się pod tym względem od fizyki, chemii i astronomii. […] W ekonomii, i w ogóle w naukach społecznych, liczba czynników wpływających na przebieg procesów jest tak duża, że parametrów ekonomicznych w ścisłym tego słowa znaczeniu (niezmiennych w czasie i przestrzeni) po prostu nie ma. […] Model matematyczny w ekonomii różni się tym od modelu matematycznego w fizyce, że fizyka (klasyczna) ma do czynienia z relatywnie prostymi obiektami i prawami, czego nie można powiedzieć o ekonomii […] Weryfikacja założeń w ekonomii jest trudna lub niekiedy niemożliwa. Zmienność, złożoność procesów ekonomicznych sprawia, że „ponadczasowe”, „ponadprzestrzenne” prawa ekonomiczne nie istnieją — w odróżnieniu od „odwiecznych” praw fizyki czy astronomii.

 

Jednak po spostrzeżeniu, że „ma rację prof. Barnett, że warunkiem koniecznym poprawności (formalnej) teorii czy modelu matematycznego w fizyce, ekonomii i każdej innej dziedzinie nauki jest zgodność wymiarów”, Panek pisze:

 

Nie zgadzam się natomiast ze stwierdzeniem, że wymiary w ekonomii nie mają uzasadnienia i sensu (ekonomicznego), podczas gdy w fizyce mają. Wymiary w fizyce są często równie „dziwaczne” i skomplikowane, jak w ekonomii (zwłaszcza w fizyce współczesnej). Równie nietrafny jest zarzut niestałości wymiarów.

 

Panek proponuje rozważenie funkcji produkcji Cobba–Douglasa w postaci intensywnej . Według niego

 

wymiar współczynnika a zmienia się w zależności od α nie dlatego, że funkcja opisuje proces ekonomiczny (a nie fizyczny), ale z tego powodu, że opisywana zależność ma charakter nieliniowy. To, że chodzi tu o zależności ekonomiczne, a nie fizyczne, nie ma żadnego znaczenia. Nieliniowe procesy fizyczne generują zmienne wymiary tak samo jak nieliniowe procesy w ekonomii.

W naszym przykładzie

i, jak widać, wymiar a zmienia się w czasie wraz ze zmianą wartości (bezwymiarowego z założenia) współczynnika elastyczności produkcji względem kapitału α.

 

Tutaj pozwolę sobie nie zgodzić się ze stwierdzeniem, że „nieliniowe procesy fizyczne generują zmienne wymiary tak samo jak nieliniowe procesy w ekonomii”. Trudno mi znaleźć takie przypadki w fizyce, szkoda zatem, że Panek nie podał konkretnych przykładów takich nieliniowych procesów fizycznych.

Dlatego też niezbyt zrozumiały jest dla mnie postulat i stwierdzenie prof. Panka:

 

spełnione musi być bezwzględnie Kornayowskie kryterium prawdy logicznej. Dotyczy to w szczególności zgodności wymiarów. Ale tylko tyle! „Niestałość wymiarów”, „brak uzasadnienia dla wymiarów” to nie są poważne zarzuty naukowe. […] Reasumując, wymiary muszą być zgodne. A czy są proste, czy złożone, czy stałe, czy niestałe, to nie ma większego znaczenia ani w ekonomii, ani w żadnej innej nauce. W ekonomii punktem wyjścia przy konstruowaniu wymiarów są zasoby i strumienie. Wszystkie inne wymiary są ich pochodnymi.

 

Zbigniew Czerwiński, Kilka słów w sprawie wymiarów w ekonomii

I znów na początku pochwały i wyznanie autora:

 

Zgadzam się z W. Barnettem, że wymiary wielkości występujących w modelach ekonomicznych (ekonometrycznych) powinny być starannie definiowane. […] Czytelnik powinien wiedzieć, czy chodzi np. o złote, czy złote na czas, czy o liczbę robotników lub liczbę roboczogodzin itp. Wymiar parametrów jest zdeterminowany przez wymiar zmiennych i gdy wymiar zmiennych nie budzi wątpliwości, nie powinien ich też budzić wymiar parametrów. […] Ważne jest natomiast, aby — gdy zapisuje się równania (czysto teoretyczne lub szacowane empirycznie) — wymiary prawej i lewej strony były jednakowe. W pracach ekonomistów (ekonometryków) można znaleźć przykłady łamania tej zasady. Z tego powodu domaganie się jej przestrzegania jest słuszne.

 

Potem jednak Zbigniew Czerwiński bagatelizuje zagadnienie, pisząc:

 

Barnetta gnębi problem niestałych wymiarów w ekonomii (ekonometrii) w przeciwieństwie do ich stałości w fizyce. Tak rzeczywiście jest, ale to zmartwienie tylko tych, którzy oczekują, że nauki społeczne mogą (powinny) dokładnie naśladować nauki przyrodnicze. Nie jest to jednak możliwe. Nauki przyrodnicze, w szczególności fizyka, są w stanie formułować prawa uniwersalne, sprawdzające się (przy stałych parametrach) niezależnie od miejsca i czasu. Zjawiska społeczne takim prawom nie podlegają — chyba że za prawa uznamy też pewne niewiele znaczące ogólniki w rodzaju „gdy cena rośnie, to popyt spada”, co sprawdza się lub nie w zależności od okoliczności towarzyszących wzrostowi cen (ceteris paribus). […] Parametry elastyczności i TFP to charakterystyki procesu produkcji, które są różne w różnych krajach i w różnych epokach. Dlaczego miałoby być inaczej?

 

Czerwiński dosyć nonszalancko rozprawia się z problemem, pisząc: „Wymiary parametrów funkcji produkcji nie mogą być stałe. Powód, dlaczego tak jest, to kwestia filozoficzna, której nie będę rozważał”. Czy uznanie, że jakiś problem jest kwestią filozoficzną, to dostateczne uzasadnienie unikania poszukiwania odpowiedzi? Chyba nie.

Moim zdaniem całkowicie nie do przyjęcia jest następujący argument autora:

 

gdyby w Europie grawitacja była odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości […] a w Ameryce była odwrotnie proporcjonalna do trzeciej potęgi odległości, to „amerykański” wymiar stałej grawitacji byłby odmienny od „europejskiego”. […] W sferze fizyki ta rozbieżność jest niemożliwa, ale w ekonomii wydaje się być całkiem naturalna. Zamiast uniwersalnych praw mamy tylko lokalne, statystyczne prawidłowości, sprawdzające się „na ogół” i tylko z pewnym przybliżeniem.

 

Czym zatem jest nauka? Jeśli w ten sposób traktowalibyśmy analizę ekonomiczną, to czy uzasadnione byłoby uznawanie ekonomii za naukę?

 

Maciej Przyłuski, Wymiary a ekonomia. Nie ma problemu

Maciej Przyłuski na początku chwali Barnetta, pisząc: „autor pracy postuluje, że konieczne jest konsekwentne i prawidłowe posługiwanie się wymiarami. Trudno się z tym nie zgodzić”. Zaraz po tym dodaje jednak: „swoje stwierdzenia autor wspiera dwoma przykładami, które — moim zdaniem — nie pozwalają na sformułowanie żadnych inkwizytorskich osądów”.

Dalej pisze w podobnym stylu, że przedstawione przez Barnetta „zarzuty wskazują raczej na podstawowe niezrozumienie przez niego arytmetyki liczb kardynalnych: dla Barnetta z równości  wynika (po skróceniu w obu stronach tej równości ), że ; właśnie argumenty na tym poziomie się pojawiają”.

Dla Przyłuskiego problem postawiony przez Barnetta nie jest żadnym problemem. Podążając za swoim poglądem, że „[u]kład jednostek to przyjęty (dość arbitralnie) zbiór wielkości podstawowych oraz pochodnych wraz z jednostkami miar wielkości pochodnych”, zadaje pytanie i udziela natychmiast odpowiedzi:

 

[…] jak są mierzone odpowiadające im wielkości występujące w naszych rozważaniach dotyczących funkcji produkcji. Odpowiedź jest prosta: te wielkości reprezentują czas; wszystkie z nich mierzyć można za pomocą tego samego zegara! Nie używamy specjalnego zegara do pomiaru upływającego czasu produkcji, czasu pracy maszyn i czasu pracy ludzi. Rok to zwykle 8760 godzin, jedna maszynogodzina trwa godzinę, a jedna roboczogodzina, nawet jak nam się dłuży, też trwa godzinę. […] K jest mierzone w maszynogodzinach/czas, tak więc jednak K jest wielkością bezwymiarową, po prostu, bo jej prawdziwy wymiar to czas/czas. Podobnie L jest mierzone w roboczogodzinach/czas, więc także L jest wielkością bezwymiarową. Oczywiście, niepokojące Barnetta wielkości  oraz  są także bezwymiarowe. Rozważmy teraz wymiar współczynnika A. Jest to zgodne z tym, co zauważa Barnett […] wymiar współczynnika A jest taki sam, jak strumienia Q, co chcieliśmy uzasadnić.

 

Można i tak — przyjąć „dość arbitralnie” jednostki podstawowe i problem znika. Co jednak, jeśli „dość arbitralnie” przyjmiemy (jak to często bywa w statystykach), że kapitał mierzymy w jednostkach monetarnych, a czas w roboczogodzinach?

Zresztą to nie jest jedyna wypowiedź Przyłuskiego w tym krótkim artykule, w którym niczym Aleksander Macedoński rozwiązuje gordyjski węzeł. Na zakończenie wywodu obwieszcza:

 

ekonomistom się wydaje, że rozpatrują bardziej skomplikowane procesy niż te, z którymi mamy do czynienia w biologii, chemii, fizyce (np. w geofizyce, metrologii) lub w niektórych naukach technicznych (np. inżynierii procesowej). To jest jednak pogląd mylny. Po prostu ww. nauki rozwijały się zawsze sprawniej od teorii ekonomii.

 

Proste, prawda?

 

Zajrzyjmy do oryginału!

Po tej ponownej lekturze tekstów odnoszących się do artykułu Barnetta zrobiłem coś, co powinienem zrobić co najmniej pięć lat temu, a czego nie uczyniłem (ale jak mniemam, nie zrobiło tego też większość autorów — jeśli nie wszyscy — łącznie z Barnettem). Sięgnąłem do oryginalnej pracy Cobba i Douglasa z 1928 r.[11] Jakież było moje zdziwienie, kiedy skonstatowałem, że to, co jest używane jako funkcja Cobba–Douglasa we współczesnej literaturze ekonomicznej i w podręcznikach ekonomii, nie ma wiele wspólnego z oryginalną propozycją Cobba i Douglasa.

Co zrobili Cobb i Douglas? Zebrali dane statystyczne dotyczące wielkości zaangażowanego kapitału i pracy oraz wielkości produkcji w gospodarce amerykańskiej (w sektorze produkcji przemysłowej) z lat 1899–1922. Te oryginalne dane statystyczne, którymi się posługiwali, są przedstawione w trzech kolejnych tabelach (rysunki 1, 2 i 3 zawierają odpowiednio tabele II, III i IV z oryginalnej wersji artykułu z 1928 r.). Na marginesie: te dane obejmują też okres kryzysu w latach 1920–1921, co widać chociażby po dużym spadku inwestycji w 1921 r. w latach 1921 i 1922 (patrz pierwsza kolumna w table II – rysunek 1), oraz spadku produkcji w 1921 r. (patrz table IV – rysunek 3). Warte podkreślenia i godne zauważenia jest to, że już w 1922 r. produkcja wyraźnie wzrosła. Głębokość depresji w latach 1920–1921 była podobna do głębokości depresji z 1929 r. — różnica jest jedynie taka, że wyjście z depresji lat 1920–1921 dokonało się głównie dzięki spontanicznym siłom rynkowym, a wyjście z depresji 1929 r. dokonywało się przy dużej interwencji państwa. Gospodarka amerykańska wyszła z kryzysu lat 1920–1921 bardzo szybko, a z kryzysu w 1929 r. wychodziła przez następne 10 lat. Dlatego też kryzys z lat 1920–1921 często nazywa się „kryzysem, o którym nie słyszeliście” albo „zapomnianym kryzysem”.

Najistotniejsze jest jednak to, że przy estymacji parametrów funkcji produkcji Cobb i Douglas posługiwali się nie wartościami bezwzględnymi, a wartościami względnymi (wskaźnikami). Dlatego w tabelach są podane te wartości względne: na rysunku 1 (table II) wskaźnik zmian zaangażowanego kapitału jest przedstawiony w ostatniej kolumnie (w latach 1899–1922 kapitał ten wzrósł 4,31 razy), na rysunkach 2 i 3 (table III i table IV) autorzy podali tylko same wartości wskaźników zaangażowanej pracy i wielkości produkcji. Na rysunku 4 przedstawiono oryginalne wykresy zmian wskaźników zaangażowanego kapitału, zatrudnienia i wielkości produkcji.

Rysunek 1. Oryginalna tabela z artykułu Cobba i Douglasa (1928) zawierająca dane statystyczne o zaangażowanym kapitale w sektorze produkcyjnym Stanów Zjednoczonych w latach 1899–1922

Rysunek 2. Oryginalna tabela z artykułu Cobba i Douglasa (1928) zawierająca dane statystyczne o zaangażowanej liczbie pracowników w sektorze produkcyjnym Stanów Zjednoczonych w latach 1899–1922

Rysunek 3. Oryginalna tabela z artykułu Cobba i Douglasa (1928) zawierająca dane statystyczne o wielkości produkcji materialnej Stanów Zjednoczonych w latach 1899–1922

Rysunek 4. Oryginalny rysunek z artykułu Cobba i Douglasa (1928) obrazujący zmiany względne kapitału, wielkości zatrudnienia i wielkości produkcji w Stanach Zjednoczonych w latach 1899–1922

Rysunek 5. Fragment oryginalnego tekstu artykułu Cobba i Douglasa z 1928 r.

 

Na rysunku 5 przedstawiono fragment oryginalnego tekstu Cobba i Douglasa dotyczącego ostatecznego wyboru postaci funkcji produkcji do estymacji parametrów i aproksymacji rzeczywistej wielkości produkcji w Stanach Zjednoczonych. Warto zauważyć, że autorzy są świadomi potrzeby zachowania wielkiej ostrożności w wyborze postaci funkcji produkcji (jak sami piszą: „rezerwując sobie prawo innego wyboru, jeśli sobie tego zażyczymy”); P’, L i C oznaczają odpowiednio wskaźniki wielkości produkcji, wielkości zatrudnienia i zaangażowanego kapitału. Estymacji parametrów b i k Cobb i Douglas dokonują, przyjmując za kryterium dopasowania do danych rzeczywistych miarę błędu średniokwadratowego. Z tych estymacji wynika im, że optymalne wartości to b = 1,01 oraz k = ¾ [12]. Jakość tego dopasowania przedstawiono na rysunku 6 (oryginalny wykres z artykułu Cobba i Douglasa). To, co mnie zastanawia (a może i niepokoi), to otrzymana dosyć „okrągła” wartość parametru k (= ¾). Z reguły przy estymacji parametrów jakiejkolwiek funkcji wielkości optymalne parametrów są wartościami rzeczywistymi, których wartości zwykle zaokrągla się na którymś tam (np. czwartym) miejscu znaczącym.

Warto zatem zapisać w jawny sposób postać funkcji produkcji stosowanej przez Cobba i Douglasa:

 .

 Stosując taką postać funkcji produkcji, Cobb i Douglas unikają wszelkich problemów związanych z analizą wymiarową, jako że wszelkie używane przez nich zmienne są bezwymiarowymi wskaźnikami. Można by zatem powiedzieć, że przynajmniej w przypadku funkcji produkcji Cobba–Douglasa problem postawiony przez Barnetta samoistnie znika. Nie oznacza to, że postulowana przez Barnetta konieczność rygorystycznego stosowania analizy wymiarowej w ekonomii także przestaje być zasadna. Problem nadal istnieje i ta potrzeba jest tak samo ważna jak w fizyce i we wszelkich innych naukach.

Rysunek 6. Oryginalne wykresy z artykułu Cobba i Douglasa (1928) obrazujące jakość dopasowania funkcji produkcji do rzeczywistych danych o wielkości produkcji w Stanach Zjednoczonych w latach 1899–1922

Kiedy pięć lat temu pisaliśmy komentarz do artykułu Baretta (Kwaśnicki, Zieliński, 2006) nie zajrzeliśmy (niestety, chciałoby się powiedzieć) do oryginalnego artykułu Cobba i Douglasa z 1928 r. Dopiero teraz widzimy, jak wiele by to zmieniło, gdybyśmy to uczynili. Intuicyjnie wyczuwaliśmy jednak tok myślenia Cobba i Douglasa. Napisaliśmy wtedy:

 

Weźmy jako przykład funkcję popytu o stałej elastyczności cenowej:

 

elastyczność α jest liczbą, która zmienia się w zależności od analizowanego rynku, może być różna w różnych okresach czasowych. Jeśli cena jest wyrażona w złotówkach, Q w sztukach (np. wihajstrów, telewizorów, samochodów), to a powinno mieć wymiar [szt ∙ zł]. Napotykamy tutaj problem postawiony przez Barnetta. W odróżnieniu od sytuacji w fizyce (np. przy równaniu na siłę przyciągania grawitacyjnego), gdzie wykładnik potęgi jest z reguły stały (w równaniu na siłę grawitacji wykładnik przy odległości r jest równy 2). Zatem stała grawitacji G ma niezmienny wymiar niezależnie od tego, czy analizujemy siły przyciągania się mikrocząstek na ziemi, czy siły przyciągania się planet. W sytuacji funkcji popytu już tak nie jest. Wymiar parametru a musiałby się zmieniać w zależności od tego, jaki rynek i w jakim czasie analizujemy (bo α nie jest stałą). Rozwiązaniem, które w takiej sytuacji można zastosować, jest wybór jakiejś ceny referencyjnej p0 i odniesienie ceny bieżącej do ceny referencyjnej, czyli zapisanie funkcji popytu w postaci:

.

Wówczas wymiar parametru a jest równy [szt] i niezależny od α bo p/p0 jest bezwymiarową liczbą rzeczywistą. Można zarzucić temu podejściu, że jest ono swego rodzaju „protezą”, ale na obecnym etapie analizy ekonomicznej, kiedy chcemy stosować aparat matematyczny, jest to pewne wyjście, które umożliwia uniknięcie problemów metodologicznych, a nawet problemów natury fundamentalnej.

Podobnie można postąpić w przypadku funkcji produkcji, odnosząc bieżący kapitał i pracę do kapitału i pracy referencyjnej (K0 i L0): .

A więc ta zaproponowana przez nas postać funkcji produkcji jest tożsama z tą zaproponowaną przez Cobba i Douglasa w 1928 r.

Jeśli już jesteśmy przy historii związanej ze zmianą interpretacji pewnych klasycznych pojęć, to wspomnę o — moim zdaniem — jednym z najważniejszych takich przypadków[13]. Pod koniec lat 50. XX w. Alban William Phillips „bawił się” danymi statystycznymi, dopasowując dane z rozwoju Wielkiej Brytanii w latach 1861–1957, i określił zależność pomiędzy bezrobociem (U) i stopą zmian płac nominalnych (W). Opublikował te swoje rozważania w sławnym artykule Relationship between Unemployment and the Rate of Change of Money Wages in the United Kingdom 1861–1957[14]. Na rysunku 7 przedstawiono oryginalny wykres z pracy Phillipsa. Artykuł jest przykładem dobrej, solidnej pracy ekonomisty rzemieślnika (w tym bardzo pozytywnym znaczeniu tego słowa). Jednakże w 1960 r. Paul Samuelson i Robert Solow opublikowali w prestiżowym „American Economic Review” artykuł pt.: Analytical Aspects of Anti-Inflation Policy, w którym dokonali reinterpretacji (słowo „nadużycie” byłoby lepsze) krzywej zaproponowanej przez Phillipsa i przedstawili ją jako zależność pomiędzy wielkością bezrobocia i inflacji. Stwierdzili, że istnieje wymienność pomiędzy inflacją a bezrobociem (wysokiej inflacji towarzyszy niskie bezrobocie i odwrotnie — gdybyśmy chcieli zmniejszyć inflację, musielibyśmy się zgodzić na to, by wzrosło bezrobocie). Oryginalny wykres z pracy Samuelsona i Solowa reinterpretujący krzywą Philipsa przedstawia rysunek 8.

W 1961 r. Samuelson włączył tak zreinterpretowaną krzywą Phillipsa do piątego wydania swojego podręcznika Economics, a że podręcznik był w tamtym czasie traktowany jako wzorcowy, to wielu innych autorów podręczników (i artykułów naukowych) dokonało tego samego w następnych latach. W ten sposób kolejne pokolenia studentów są uczone tej błędnej postaci krzywej Phillipsa, ale co gorsza, uczeni sądzą, że taka krzywa może być podstawą prowadzenia polityki gospodarczej rządów (w tej postaci weszła do standardowego zestawu „narzędzi” polityki gospodarczej keynesistów i neoklasyków).

Nawiasem mówiąc, trzeba się wykazać naprawdę „dobrą wolą”, by na podstawie danych statystycznych (czy to zebranych przez Phillipsa, czy przez Samuelsona i Solowa), tak bardzo „rozrzuconych” (np. rysunek 7), zaproponować „gładką” krzywą (rysunek 8) obrazująca „zamienność inflacji i bezrobocia”, która to krzywa bez zastrzeżeń została przyjęta przez polityków gospodarczych.

Rysunek 7. Oryginalny wykres z pracy A. W. Phillipsa obrazujący zależność pomiędzy wielkością bezrobocia a stopą zmian płac

Rysunek 8. Reinterpretacja krzywej Phillipsa dokonana przez Samuelsona i Solowa

 

Podsumowanie

Jeżeli w analizie ekonomicznej stosujemy modele formalne (matematyczne), to bezwzględnie, tak jak to jest np. w fizyce, powinniśmy przestrzegać zgodności wymiarów we wszystkich stosowanych równaniach. Jeśli w tych równaniach występują parametry posiadające jakieś wymiary, to wymiary tych parametrów powinny być niezmienne w czasie oraz niezależne od regionu, kraju, sektora, gałęzi przemysłu (ogólnie miejsca), do którego to równanie się stosuje. Ekonomiści w swoich pracach powinni przynajmniej zasygnalizować czytelnikowi, że są świadomi problemu wymiarowości w stosowanej przez nich analizie.

Warto jednak powiedzieć, że powszechna dążność ekonomii ortodoksyjnej do opisu ilościowego zjawisk gospodarczych nie oznacza, że taki opis jest pełny i adekwatny. W ekonomii (ale także w innych naukach, np. fizyce, o czym pisał m.in. Feynman) opis ilościowy czy formalny nie jest tożsamy ze zrozumieniem zjawiska. W tym kontekście warto przytoczyć wypowiedź Daniela Yankelovicha (teoretyka, profesora psychologii, ale też praktyka — założyciela znanej firmy badającej rynki) na temat nadmiernej ufności pokładanej w liczbach i liczeniu:

 

Krok pierwszy to zmierzyć i policzyć to, co może być łatwo zmierzone i policzone. I to jest całkiem okej. Krok drugi to pominąć to, czego nie da się zmierzyć i policzyć, albo przypisać temu czemuś jakąś arbitralną wartość liczbową. To jest posunięcie sztuczne, które wprowadza nas w błąd. Krok trzeci to przyjąć, że to, czego nie da się zmierzyć i policzyć, tak naprawdę nie jest zbyt ważne. To jest ślepota. Krok czwarty to stwierdzić, że to, czego się nie da zmierzyć i policzyć, właściwie nie istnieje. To samobójstwo[15].

 

Literatura

Barnett William II, Dimensions and Economics: Some Problems, „The Quarterly Journal of Austrian Economics” 2003, t. 6, nr 3, s. 27–46, www.mises.org/journals/qjae/pdf/qjae6_3_2.pdf; poprawiona wersja w: t. 7, nr 1 (wiosna 2004), mises.org/journals/qjae/pdf/qjae7_1_10.pdf; polskie tłumaczenie: Burnett Wiliam II, Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3, dostępne pod: http://kwasnicki.prawo.uni.wroc.pl/todownload/BarnettWymiary.pdf.

Barnett Wiliam II, Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

Bednarski Tadeusz, Głos polemiczny do artykułu Williama Barnetta, „Studia Ekonomiczne 2006, nr 3.

Cobb Charles Wiggins, Douglas Paul Howard, A Theory of Production, „American Economic Review” 1928, nr 18(1), s. 139–165; Supplement, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association.

Czerwiński Zbigniew, Kilka słów o sprawie wymiarów w ekonomii, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

De Jong Frits J., Dimensional Analysis for Economists, North Holland Pub. Co. Amsterdam 1967.

Douglas Paul Howard, The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some Empirical Values, „Journal of Political Economy” 1976, nr 84, s. 903–916.

Hockuba Zbigniew, Złożoność a ekonomia. Wybrane problemy. Uwagi na marginesie artykułu Williama Barnetta II, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

Kasprzak Wacław, Bertold Lysik, Analiza wymiarowa w projektowaniu eksperymentu,  Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław 1978.

Kasprzak Waclaw, Bertold Lysik, Marek Rybaczuk, Dimensional Analysis in the Identification of Mathematical Models, World Scientific, Singapur, 1990.

Kostro Krzysztof, Barnett, szkoła austriacka a wymiary w ekonomii, Studia Ekonomiczne 2006, nr 3.

Kwaśnicki Witold, Zieliński Marcin, Uwagi do artykułu Barnetta „Wymiary a ekonomia”, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

Malawski Andrzej, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w ekonomii, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

Panek Emil, Uwagi na marginesie artykułu W. Barnetta „Dimensions and Economics: Some Problems, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

Phillips A. W., Relationship between Unemployment and the Rate of Change of Money Wages in the United Kingdom 1861–1957, „Economica” 1958, listopad, s. 283–299.

Przyłuski Krzysztof Maciej, Wymiary a ekonomia. Nie ma problemu, „Studia Ekonomiczne” 2007, nr 1–2.

Samuelson Paul A., Solow Robert M., Analytical Aspects of Anti-Inflation Policy, „American Economic Review” 1960, 50(2), s. 177–194.

Żylicz Tomasz, Czy w ekonomii jednostki pomiaru coś znaczą?, „Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3.

 

Załącznik

Wymiary w fizyce

 

Układ SI (Système International d’Unités); zatwierdzony w 1960 r.

Jednostki pochodne


[1] „Analiza wymiarowa, fiz. metoda postępowania przy sprawdzaniu równań lub wyznaczaniu postaci wzorów wiążących różne wielkości fiz. na podstawie danych z doświadczeń lub w wyniku eksperymentów myślowych”. – Encykopedia PWN, http://encyklopedia.pwn.pl.

[2] Opublikowano następujące artykuły:

„Studia Ekonomiczne” 2006, nr 3:

  • Krzysztof Kostro, Wprowadzenie do dyskusji: Barnett, szkoła austriacka a wymiary w ekonomii.
  • Wiliam Barnett II, Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy.
  • Witold Kwaśnicki, Marcin Zieliński, Uwagi do artykułu Barnetta „Wymiary a ekonomia”.
  • Tadeusz Bednarski, Głos polemiczny do artykułu Williama Barnetta.
  • Andrzej Malawski, Nieco hałasu o coś, czyli kilka uwag ad hoc o wymiarowości w ekonomii.
  • Tomasz Żylicz, Czy w ekonomii jednostki pomiaru coś znaczą?
  • Emil Panek, Uwagi na marginesie artykułu W. Barnetta „Dimensions and Economics: Some Problems.
  • Zbigniew Czerwiński, Kilka słów o sprawie wymiarów w ekonomii.
  • Zbigniew Hockuba, Złożoność a ekonomia. Wybrane problemy. Uwagi na marginesie artykułu Williama Barnetta II.

„Studia Ekonomiczne” 2007, nr 1–2:

  • Krzysztof Maciej Przyłuski, Wymiary a ekonomia. Nie ma problemu.

[3] http://mises.pl/projekty/letnie-seminarium-austriackie/letnie-seminarium-ekonomiczne-2011.

[4] Charles Wiggins Cobb, Paul Howard Douglas, A Theory of Production, American Economic Review” 1928, nr 18(1), s. 139–165; Supplement, Papers and Proceedings of the Fortieth Annual Meeting of the American Economic Association.

[5] Wacław Kasprzak, Bertold Lysik, Analiza wymiarowa w projektowaniu eksperymentu,  Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Wrocław 1978; Wacław Kasprzak, Bertold Lysik, Marek Rybaczuk, Dimensional Analysis in the Identification of Mathematical Models, World Scientific, 1990 (dostępne też w Google Books: http://books.google.pl/books?id=A0FkivhdWl8C&lpg=PP1&ots=4j7nq8xZ_f&dq=Kasprzak%2C%20Bertold%20Lysik&hl=pl&pg=PP1#v=onepage&q&f=false.

[6] Frits J. de Jong, Dimensional analysis for economists, with a mathematical appendix on the algebraic structure of dimensional analysis by Wilhelm Quade, 1967.

[7] Richard P. Feynman, Przyjemność poznawania, Prószyński i S-ka, Warszawa 2006, s. 30.

[8] Po raz pierwszy zaproponował ją Knut Wicksell w 1894 r.

[9] Co ciekawe, w większości prac ekonomistów neoklasycznych przyjmuje się (nie wiadomo dlaczego), że α = 0,3 (ta wartość jest też często podawana w podręcznikach do makroekonomii).

[10]  Wiliam Barnett II , Wymiary a ekonomia. Niektóre problemy (załącznik do artykułu) Studia Ekonomiczne, 2006, nr 3.

[11] Charles Wiggins Cobb, Paul Howard Douglas, A Theory of Production, dz. cyt.

[12] Te parametry b i k odpowiadają we współczesnej notacji parametrom A i 1-α.

[13] Od wielu lat zwracam na to uwagę studentom, kiedy omawiamy tzw. krzywą Phillipsa.

[14] „Economica” 1958, listopad.

[15] Za: John C. Bogle, Dość. Prawdziwe miary bogactwa, biznesu i życia, Polskie Towarzystwo Ekonomiczne, Warszawa 2009, s. 132–133.


podatku dla Instytutu Misesa, to więcej wolności w Polsce!


14 odpowiedzi na „Kwaśnicki: Problemy analizy wymiarowej w ekonomii”

  • Austriacy zwykle narzekaja na matematyke i fizyke. Mnie te narzekania zwykle irytuja. Lubie te dyscypliny, bo sa solidne i wiarygodnie.

    Dlatego ten artykul jest ciekawy, bo wskazuje na to, ze problemem nie jest matematyka, tylko jej wybiorcze, w pewnym sensie nieuczciwe, i w konsekwencji nieprawidlowe stosowanie przez wielu ekonomistow.

  • Wczoraj obejrzałem „Moneyball” z Bradem Pittem – film ponoć na faktach. Opowiada o trenerze biednej (jak na warunki amerykańskiej ligi) drużyny bejsbolowej, który zatrudnił eksperta od analiz matematycznych i zlecił mu skompletowanie poszczególnych graczy do zespołu wyłącznie na bazie danych statystycznych z poprzednich sezonów. Co prawda, mistrzostwa nie zdobył, ale pobił po drodze do finału wiele rekordów, a jego metodologie wykorzystały później inne drużyny z wielkim sukcesem. Czemu o tym pisze? W sumie nie wiem ;)

  • Świetny artykuł. Brawo p. Kwaśnicki. Może by tak więcej artykułow wrocławskiego ekonomisty?

  • Stanisław Kwiatkowski

    Wisienka na torcie na polskiego tygodnia na mises.pl

    Chapeau bas!

  • Doskonały artykuł wychodzący poza obsesyjne negowanie użyteczności matematyki w ekonomii.
    Należy „wysupłać” z głównego nurtu to co od strony teorii miary ma sens, co może nieudolnie próbowałem robić na tym blogu, od tego co nie może być opisem realnej ekonomii. Operowanie na materiale teoretycznym głównego nurtu(tak jak zrobił to prof.Kwaśnicki)przybliży sens i dorobek ekonomistów „austriackich”, większość ekonomistów kształconych na podręcznikach Samuelsona.

  • @1,5:
    A może to jest tak, że austriacy nie mają awersji do matematyki jako takiej, tylko do sposobu jej stosowania w ekonomii? Powyższy artykuł pokazuje, że to nie austriacy mają problemy ze zrozumieniem wzorów matematycznych :)

    To, że mam młotek, nie znaczy, że mam nim klepać wszystko wokół. Bo młotek jest do wbijania gwoździ. Z tego, że nie chcę wszystkiego klepać młotkiem nie wynika, że mam awersję do młotków :)

  • @6:
    Zgoda ale należy im pokazać gdzie klepią bez sensu

  • Ciekawy jest ten przykład z roboczogodzinami. Mnie się wydaje, że roboczogodzina to jednostka odpowiadająca pracy jednego człowieka przez godzinę. To jest jednostka ilości wykonanej pracy a nie czasu. Jeśli dziesięciu ludzi pracuje w ciągu godziny, to mamy dziesięć roboczogodzin, które fizycznie trwają jedną godzinę. Jeśli jestem w błędzie, to proszę o sprostowanie. Może w ekonomii roboczogodzina to jest to samo co godzina?

  • Czy cena jest rzeczywiście wyrażona w PLN, czy raczej w PLN/wihajster? W końcu 5 PLN nic nam nie mówi, natomiast 5 PLN/wihajster to już jest jakaś informacja.

    Wtedy dla wzoru
    Q=A*p^a
    otrzymujemy A=Q*p^-a [szt^(a+1)*PLN^-a] lub [szt*(szt/PLN)^a]
    Np. dla a=1 mamy A [szt^2/PLN].
    Czytaj „sztuk kwadrat na złotówkę”. Brzmi pięknie :)

    Dla a=1 może to i ma jakiś sens, bo mamy ilość towaru pomnożoną przez cenę pieniądza wyrażoną w danym towarze (jego siłę nabywczą). Ale jaki sens ma siła nabywcza pieniądza do a-tej potęgi? Czy to ma odzwierciedlać wrażliwość konsumentów na zmianę siły nabywczej pieniądza? Może po prostu wybrano tę postać funkcji, bo była wygodna z matematycznego punktu widzenia? Zastosowanie tutaj analizy wymiarowej może prowadzić do powstania innego wzoru, który będzie miał większy sens.

  • Zastanawiam się, dlaczego jest na tym forum czasem tyle hałasu (piszę ogólnie, żeby nie „pokazywać palcami”), kiedy krytykuje się nieumiejętne stosowanie matematyki w ekonomii, natomiast kiedy napisze się jakiś wzór matematyczny, to sza! :)

    Jeśli jest problem z odczytaniem mojego wpisu, to użyłem * dla oznaczenia mnożenia i ^ dla potęgowania.

    Zostałem kiedyś tutaj „zbluzgany” niemerytorycznie, to poproszę teraz o konstruktywną krytykę :)

  • Stanisław Kwiatkowski

    Być może dlatego, że nie pisze Pan do którego fragmentu się Pan odwołuje :)

    Im większego wysiłku wymaga odpowiedź, tym mniejsza na nią szansa – rzadkość czasu i zasobów obowiązuje wszystkich.

  • Zakładałem, że pod artykułami umieszczają posty ludzie, którzy je przeczytali :)

    Pytanie o roboczogodziny wydawało mi się proste. Odnosiło się np. do tego fragmentu „Rok to zwykle 8760 godzin, jedna maszynogodzina trwa godzinę, a jedna roboczogodzina, nawet jak nam się dłuży, też trwa godzinę.” Umieszczę je jeszcze raz:

    Ciekawy jest ten przykład z roboczogodzinami. Mnie się wydaje, że roboczogodzina to jednostka odpowiadająca pracy jednego człowieka przez godzinę. To jest jednostka ilości wykonanej pracy a nie czasu. Jeśli dziesięciu ludzi pracuje w ciągu godziny, to mamy dziesięć roboczogodzin, które fizycznie trwają jedną godzinę. Jeśli jestem w błędzie, to proszę o sprostowanie. Może w ekonomii roboczogodzina to jest to samo co godzina?

    A odnośnie wzoru, to spróbowałem go zrekonstruować:
    „Weźmy jako przykład funkcję popytu o stałej elastyczności cenowej:

    Q=a∙p^α

    elastyczność α jest liczbą, która zmienia się w zależności od analizowanego rynku, może być różna w różnych okresach czasowych. Jeśli cena p jest wyrażona w złotówkach, Q w sztukach (np. wihajstrów, telewizorów, samochodów), to a powinno mieć wymiar [szt ∙ zł-α].”

    Mój post odnoszący się do tego fragmentu:
    Czy cena jest rzeczywiście wyrażona w PLN, czy raczej w PLN/wihajster? W końcu 5 PLN nic nam nie mówi, natomiast 5 PLN/wihajster to już jest jakaś informacja.

    Wtedy dla wzoru
    Q=A*p^a
    otrzymujemy A=Q*p^-a [szt^(a+1)*PLN^-a] lub [szt*(szt/PLN)^a]
    Np. dla a=1 mamy A [szt^2/PLN].
    Czytaj „sztuk kwadrat na złotówkę”. Brzmi pięknie :)

    Dla a=1 może to i ma jakiś sens, bo mamy ilość towaru pomnożoną przez cenę pieniądza wyrażoną w danym towarze (jego siłę nabywczą). Ale jaki sens ma siła nabywcza pieniądza do a-tej potęgi? Czy to ma odzwierciedlać wrażliwość konsumentów na zmianę siły nabywczej pieniądza? Może po prostu wybrano tę postać funkcji, bo była wygodna z matematycznego punktu widzenia? Zastosowanie tutaj analizy wymiarowej może prowadzić do powstania innego wzoru, który będzie miał większy sens.

  • Ad Paweł 12
    W ogóle przykład z roboczogodzinami jest nietrafiony ponieważ normy zostały obliczone dla wynagrodzenia akordowego. Tak naprawdę to przeliczenie na różne elementy i jedni daną normę zrobią szybciej drudzy wolniej. Najzupełniej poprawne będzie też stwierdzenie, że na przykład roboczogodzina dla jednej osoby trwa dwie godziny bo w czasie pierwszej godziny ktoś wyrobi pół roboczogodziny potem godzina przerwy wymuszona technologią i następnie pół roboczogodziny w drugiej godzinie.

    Nie skreślałbym jednak do końca opinii, że „… a jedna roboczogodzina, nawet jak nam się dłuży, też trwa godzinę”.
    Trochę naciągnę tutaj praktykę ale na przykład dla robót w mokrym gruncie liczy się odpompowywanie wody w nakładach jedna maszyno-godzina na godzinę. Powiedzmy, że pracy pompy pilnuje człowiek to wtedy jedna jego roboczogodzina odpowiada jednej maszynogodzinie pracy pompy, a więc nawet jakby się bardzo nudził to jego roboczogodzina przy obsłudze pompy trwa godzinę.

  • No i „antysłupkarz” i „psycholog” Kwaśnicki dał nam popalić matematyką. A zamieszczenie jednego wzoru zmniejsza ilość czytających o połowę. Myślałem, ze szanowne „audytorium” odda artykuł walkowerem, a tu patrz, 13 wpisów.

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Możesz użyć następujących tagów oraz atrybutów HTML-a: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Current ye@r *

wsparcie Mises
googlefacebooktwitteryoutube
Zapisz się na newsletter:

Wybierz listę(y):

Cytat:
  • Jeśli ktoś walczy o wolny rynek i wolną konkurencję, nie staje w obronie tych, którzy są już bogaci, lecz zabiega o swobodę działania dla anonimowych ludzi, którzy niebawem zostaną przedsiębiorcami, a ich pomysłowość sprawi, że życie przyszłych pokoleń stanie się lżejsze. Ludwig von Mises
Mecenasi
Wspieraj Nas>>
We wrześniu wsparły nas następujące osoby:
Pan Łukasz Aranowski
Pan Marek Bernaciak
Pan Wojciech Bielecki
Pan Piotr Bigaj
Pani Dominika Buczek
Pan Robert Ciborowski
Pan Leszek Ciesielski
Pan Michał Dębowski
Pan Tobiasz Domagała
Pan Stanisław Gruszka
Pan Maciej Grzymkowski
Pan Karol Handzel
Pan Miłosz Janas
Pan Sebastian Janik
Pan Dawid Jary
Pan Dominik Jaskulski
Pan Gustaw Jokiel
Pan Dominik Jureczko
Pan Paweł Jurewicz
Pan Mieczysław Kalinowski
Pan Piotr Kalinowski
Pan Tomasz Kłosiński
Pan Jan Kochman
Pan Piotr Kot
Pan Mariusz Kowalczyk
Pan Adam Kruszewski
Pan Adam Kubaty
Pan Karol Kubisztal
Pan Tomasz Malinowski
Pani Agnieszka Małecka
Pan Miłosz Mazurkiewicz
Pan Marzio Mercuri
Pan Piotr Mędza
Pan Omar Morsy
Pan Filip Nowicki
Pani Karolina Olszańska
Pan Zbigniew Ostrowski
Pan Andrzej Piotrowski
Pan Patryk Sałek
Pan Paweł Sawicz
Pan Marek Skrzypczak
Pan Mirosław Sobczyk
Pan Radosław Sobieś
Stowarzyszenie Libertariańskie
Pan Szymon Truszczyński
Pan Robert Wabik
Pan Piotr Wadowski
Pani Anna Wajs
Pan Adam Wasielewski
Pan Waldemar Wilczyński
Pan Jakub Wołoszyn
Pan Mateusz Zabłocki
Pan Marek Zemsta
Pan Maciej Zieliński
Pan Marcin Zowczak
Znajdź się na liście>>
Łącznie otrzymaliśmy od Was 3938,95 zł. Dziękujemy!
Lista mecenasów>>