Autor: Przemysław Rapka
Wersja PDF

Teksty publikowane jako working papers wyrażają poglądy ich Autorów — nie są oficjalnym stanowiskiem Instytutu Misesa.

Wprowadzenie

Każdy, kto zapoznał się z najważniejszą książką Rothbarda, czyli Ekonomią wolnego rynku, z pewnością zauważył jego zdecydowaną niechęć wobec wykorzystywania matematyki w rozważaniach o teorii ekonomii. Dwie główne prace, w których Rothbard przedstawia swoje poglądy przeciw podejściu matematycznemu w ekonomii, to jego wspomniane już magnum opus oraz znany artykuł poświęcony teorii użyteczności oraz ekonomii dobrobytu ― Towards a reconstruction of utility and welfare economics.

Przedstawiając swoje zarzuty wobec ekonomii matematycznej ― zwłaszcza koncepcji funkcji użyteczności w jej ujęciu ilościowym i jakościowym ― nie poddał wyczerpującej krytyce innych istotnych problemów wprowadzanych do analizy ekonomicznej przez zastosowanie tych funkcji. Rothbardowska krytyka ekonomii matematycznej ma charakter metodologiczny, fundamentalny dla analizy. Niestety nie dokonał on porównania analizy ekonomicznej wykorzystującej matematykę z tą, która nie stosuje równań i nie pokazał na żadnym przykładzie, jak się zmienia analiza jakiegokolwiek problemu ekonomicznego pod wpływem zastosowania matematyki. Prawdopodobnie z tego powodu jego krytyka była nieprzekonująca dla zwolenników matematyzacji ekonomii, gdyż dla nich krytykowane koncepcje to niezbędne założenia dla możliwości przeprowadzenia analizy, stosując narzędzia matematyczne, jednocześnie uznając je za niewielkie nagięcie rzeczywistości na rzecz metody[1].

Nie twierdzę, że matematyka nie ma jakiegokolwiek zastosowania w ekonomii i nie chcę w tym tekście zajmować stanowiska w debacie na temat stosowania matematyki w ekonomii. Jedynie krótko przedstawię krytykę Rothbarda, oraz wpływ funkcji użyteczności na analizę ekonomiczną na przykładzie wyboru konsumenta oraz odkrywania jego preferencji.

Krytyka ekonomii matematycznej według Rothbarda

Podsumujmy krótko stanowisko Rothbarda wobec ekonomii matematycznej:

W Ekonomii wolnego rynku Rothbard formułuje następujące zarzuty wobec ekonomii matematycznej[2]:

  • założenie o ilościowym charakterze użyteczności w ekonomii matematycznej i stwierdzenie, że użyteczności heterogenicznych dóbr nie mogą się ze sobą zrównać,
  • krytyka koncepcji obojętności ― człowiek nie może zaprezentować obojętności w działaniu, zawsze musi dokonać wyboru. Dlatego krzywa obojętności nie ma prawa bytu, gdyż ostatecznie człowiek będzie musiał dokonać wyboru,
  • krytyka zastosowania analizy matematycznej ― matematyka nie nadaje się do opisu działania ludzkiego, gdyż działanie człowieka ma charakter jakościowy, nie ilościowy,
  • nierealistyczne założenie ciągłości funkcji ― działanie człowieka składa się z niepodzielnych kroków, a każdy ma konkretne znaczenie w drodze do osiągnięcia celu.

krytyki przedstawione w tych dwóch dziełach są w zasadzie identyczne. W „Towards a reconstruction…” argumentacja została nieco rozszerzona i sprecyzowana, bo Rothbard dokonał już w tej pracy rozróżnienia wśród ekonomistów matematycznych na tych, którzy nadają użyteczności krańcowej interpretację ilościową i tych, którzy uznają użyteczność za szeregową, nie kardynalną. Zauważa, że ci ostatni, którzy postrzegają użyteczność jako porządkową, zdecydowali się na zastąpienie w swych wywodach użyteczności krańcowej pojęciem krańcowej stopy substytucji[3].

Rothbard formułuje także zarzut filozoficzny przeciw zastosowaniu matematyki w ekonomii. Ludzkie działanie jest celowe i niesie ze sobą określone znaczenie. Samo znaczenie działania ma charakter jakościowy, nie ilościowy. Konsekwencją tego jest — według Rothbarda  niemożność ujęcia tego, co istotne w ludzkim postępowaniu matematyką, zwłaszcza stosując ją w sposób podobny do fizyki. Ujęcie matematyczne, ilościowe ludzkiego działania nie ujmuje tego, co jest istotne w ekonomii i funkcjonowaniu osoby w świecie. Zależności w ludzkim działaniu są jakościowe, nie ilościowe. Dodatkowo funkcja zakłada mechaniczną, regularną i zdeterminowaną zależność. Jedyne miejsce, gdzie Rothbard widzi możliwość zastosowania matematyki, to opis stanu równowagi gospodarczej, gdzie cała aktywność ekonomiczna powtarza się w gospodarce z okresu na okres — uwarunkowania, zachowania i zapotrzebowania nie zmieniają się, a równowagę ogólną można określić jako pozaczasową[4].

Krytyki te wydają się celne i są popularne oraz powszechnie akceptowane wśród austriaków. Warto jednak pokazać, jak zmienia się analiza zachowania konsumenta przez zastosowanie najmocniej krytykowanego przez Rothbarda konceptu, czyli funkcji użyteczności.

Obojętność celów

Już samo przyjęcie funkcji użyteczności u samych podstaw zmienia analizę ekonomiczną. Typowe dla austriaków skale preferencji przywiązują wagę do uszeregowania preferencji, czyli które dobra i w jakiej ilości są wyżej wartościowane od innych. Z funkcji użyteczności, jak zaraz zostanie pokazane, wynika obojętność konsumenta wobec tego, co będzie konsumował, czy też obojętność wobec stawianych sobie celów.

Oparcie się na użyteczności opisanej za pomocą funkcji matematycznej znacząco wpływa na to, jak będziemy postrzegać człowieka i dokonywanie przez niego wyborów. Uszeregowanie preferencji w postaci koszyków dóbr przez daną osobę musi spełniać pewne konkretne aksjomaty — zwrotności, kompletności i przechodniości[5]. Osoba działająca, mając możliwość dokonania wyboru spośród iluś koszyków dóbr, musi być w stanie porównać każde z każdym, aby na przykład określić, mając dane dwa koszyki, który z nich jest lepszy czy też są one równie dobre. Same funkcje najczęściej są z założenia ciągłe oraz wypukłe, żeby łatwiej się je poddawało modelowaniu matematycznemu. Taką przykładową funkcją użyteczności może być u(x)=x+2y, gdzie x i y to ilości jakiś dwóch różnych dóbr. Zaczynając od przykładowego koszyka składającego się z 5 jednostek x oraz 5 jednostek dobra y, możemy wyznaczyć zbiór koszyków o tej samej użyteczności. Ten przykładowy koszyk będzie miał użyteczność 5+2*5=15. Aby użyteczność się nie zmieniła dla tego koszyka po odjęciu z niego jednostki x, musimy dodać pół jednostki y (4+2*5,5=15).

Wiążąca się z funkcją użyteczności krzywa obojętności i jej zastosowanie do dóbr konsumpcyjnych ma konsekwencje znacznie poważniejsze i sięgające dalej, niż to może się wydawać. Celem działalności gospodarczej jest produkcja dóbr i usług finalnych, czyli konsumpcyjnych. Człowiek nie dąży do jakiejkolwiek konsumpcji, lecz chce realizować swoje konkretne subiektywne cele. Stąd też istotne jest dla niego to, co on konsumuje. Krzywa obojętności ignoruje ten fakt, wprowadzając koncepcję równości użyteczności między różnymi koszykami dóbr, czyli celami. Te cele, czy też konsumpcja mogą być kompensowane zgodnie z marginalną stopą substytucji, która to jest związana z koncepcją krzywej obojętności. Przykładowo dla człowieka w świecie neoklasycznej obojętności celów może nie mieć znaczenia, czy pójdzie do kina, czy zostanie w domu i będzie rzeźbił w drewnie, byle tylko mógł na rzeźbienie poświęcić odpowiednio dużo czasu, aby użyteczności tych dwóch zajęć się zrównały. Konkretne cele nie mają aż tak istotnego znaczenia, ważniejszy jest stopień zrealizowania tych celów.

Schemat postępowania

Chociaż skale preferencji zgodnie z teorematem reprezentacji możemy przełożyć na funkcję użyteczności bez popadania w użyteczność kardynalną, to jest kwestią kontrowersyjną przyjmowanie w modelu ekonomicznym funkcji użyteczności o konkretnej postaci, jak chociażby wcześniej podana jako przykład u(x)=x+2y.

Budując model, w którym preferencje konsumenta są ujęte za pomocą funkcji użyteczności o jakiejś określonej postaci, preferencje oraz ich poznanie przestaje być problemem ― jesteśmy w stanie przewidzieć przyszłe wybory konsumenta dotyczących tego, co w jakich ilościach będzie kupował przy danych cenach, gdyż będzie wystarczające rozwiązać problem optymalizacyjny, który nam powie, jakie będzie zapotrzebowanie na poszczególne produkty. Możliwe jest też w tym ujęciu ścisłe określenie zmian popytu konsumenta pod wpływem zmian różnych czynników, np. zmiany wielkości dochodu. Znając funkcję użyteczności, jesteśmy w stanie określić funkcję popytu, a następnie poprzez rozwiązanie pewnego problemu optymalizacyjnego możemy wyznaczyć, jaki koszyk dóbr konkretnie zostanie zakupiony przy danym ograniczeniu budżetowym. Nie istnieje więc problem niepewności. Zamiast realnego procesu odkrywania preferencji i cen, jakie konsumenci są gotów zapłacić, mamy problem matematyczny.

Wykorzystywanie określonej funkcji użyteczności w modelu stawia warunek rzeczywistości, że ludzie muszą postępować zgodnie z przyjętą funkcją. W wypadku innej postaci funkcji wcale nie jest pewne, że model będzie odpowiednio opisywał rzeczywistość. Jako przykład podajmy badanie i modelowanie preferencji osób biednych o dochodzie tysiąca złotych miesięcznie. W trakcie badania mogliśmy poznać ich funkcję użyteczności oraz znamy ich ograniczenie budżetowe. Chociaż nasze przewidywania co do podejmowanych przez nich wyborów w określonych warunkach mogą być trafne, to wcale nie znaczy, że posługując się tą samą funkcją użyteczności, przewidywania będą poprawne w innych warunkach. Można się spodziewać, że gdyby taka osoba o skromnym dochodzie nagle dostała milion złotych, to najprawdopodobniej zaprezentowane preferencje i podejmowane działania będą się znacząco różnić od tych, na jakie wskazywałby model skonstruowany na podstawie dotąd podejmowanych działań. Najprawdopodobniej ten dodatkowy dochód zostanie inaczej wykorzystany przez tę osobę. Możliwe, że mniejsza część zostanie skonsumowana i wydana na inne dobra, niż dotąd były zakupowane, a także większa część dochodu zostanie zaoszczędzona. Znając pewne preferencje i opisując je funkcją użyteczności, nie możemy być pewni, że ta funkcja będzie się sprawdzać i pasować do preferencji po zmianie warunków.

W tym przykładzie ujawnia się kolejny problem. Preferencje (a więc i funkcje użyteczności je opisujące) muszą być odkrywane, czy to przez przedsiębiorcę, czy planistę gospodarczego, a one same mogą się zmieniać wraz ze zmianami warunków i czasem. Gdy te zmiany faktycznie ciągle zachodzą, to bardzo trudno, a niekiedy wręcz wcale, nie jesteśmy w stanie zastosować funkcji użyteczności do modelowania i opisywania zachowań i wyborów dokonywanych przez konsumenta. Nawet jeśli przyjmie się, że przedsiębiorca dostosowuje swoje działania do preferencji opisanych za pomocą funkcji użyteczności, to pojawia się konieczność poznania tego, w jaki sposób przedsiębiorca odkrywa funkcję opisującą preferencje konsumenta. W efekcie  sama funkcja spada na dalszy plan w teorii ekonomii.

Skale preferencji i konsument

Oparcie się bezpośrednio na skalach preferencji jest podejściem prostszym i bardziej realistycznym. Skale te pokazują jedynie, które dobra są bardziej preferowane od innych, jednocześnie nie wymagając znajomości całej skali preferencji bądź przyjęcia jakiejś funkcji, zgodnie z którą jednostka funkcjonuje, aby móc coś powiedzieć o działaniu człowieka. Łatwiej także radzić sobie ze zmianami preferencji wraz ze zmiennością warunków oraz upływem czasu.

Wartość nie jest cechą danego dobra, lecz relacją między dobrami. Jest to relacja porządkowa, czyli wolimy coś od czegoś, preferujemy X nad Y[6]. W gospodarce, w której jest tylko jedno dobro, nie ma wartościowania, gdyż nie ma problemu wyboru, co nabyć ani co produkować.

Przedsiębiorcy próbujący określić popyt na swój produkt nie są już w stanie tego popytu określić z absolutną pewnością ani jak decyzje konsumenta będą się zmieniały pod wpływem zmian różnych czynników. Nie znają funkcji, która określa schemat postępowania konsumentów. Zobrazujmy to na pewnym przykładzie, w którym skala preferencji mogłaby wyglądać tak:

2 jednostki Dobra B > 500 dolarów > Dobro A > 350 dolarów > dobro B > 300 dolarów

Widzimy na tej skali preferencji, że konsument jest gotów zapłacić 500 dolarów, by nabyć 2 jednostki dobra B. Jest też gotów zapłacić 350 dolarów za dobro A oraz 300 za jednostkę dobra B. Ta skala preferencji nie musi być znana przedsiębiorcy ― produkując dobro A i sprzedając je temu konsumentowi za 300 dolarów, nie może określić z absolutną pewnością, że cena, którą obecnie otrzymuje, jest najwyższą, jakiej może zażądać. Musi to odkryć poprzez badania rynkowe, zbieranie informacji i eksperymenty, stosując przy tym rozmaite narzędzia związane z podejmowaniem decyzji i określaniem odpowiedniej ceny. Nie ma też pewności, jak bardzo klient preferuje dobro A nad konkurencyjne dobro B, więc nie wie na pewno, jak konsument zareaguje na działania konkurencji. Może nie przewidzieć, że konsument przy obniżce ceny dobra B do 250 dolarów nie zdecyduje się na zakup tego właśnie dobra i to w większej ilości. Taka możliwość wymusza na przedsiębiorcy poniesienie kosztów pozyskania informacji lub podjęcie większego ryzyka, wynikającego z posiadania niepełnej wiedzy o tych konkretnych warunkach.

Przedsiębiorca próbujący odkryć skalę preferencji potencjalnych klientów natrafia więc na realny problem związany z odkrywaniem istniejących możliwości oraz poznawaniem konsumentów. Nie są oni zdeterminowani funkcją, więc osoba decydująca w firmie nie jest w stanie zdeterminować z absolutną pewnością wyborów klientów. Nawet jeśli pozna dokładnie tę hipotetyczną skalę preferencji, to nie oznacza to, że na jej podstawie może określić z pewnością, jakich wyborów dokona konsument w nieco innych warunkach. Funkcja użyteczności opisująca tę hipotetyczną skalę preferencji może mu posłużyć jedynie jako pewne narzędzie pomocnicze przy podejmowaniu decyzji. Wciąż musi się on zmagać ze zmianami gustów pod wpływem zmian otoczenia i upływu czasu. Jego obecna wiedza zdobyta w przeszłości nie jest pewna, a jej główną funkcją jest pomoc w sformułowaniu przewidywań dotyczących tego, „co znajduje się poza” już poznanymi preferencjami, jak i co do przyszłości ― to, co zaobserwowano w przeszłości, wcale nie musi odpowiadać niepewnej przyszłości.

Odkrywanie jest ważne

Krytyka ekonomii matematycznej dokonana przez Rothbarda nie miała dużego wpływu ani znaczenia dla rozwoju ekonomii. Nie pokazał on także zmian zachodzących w analizie ekonomicznej pod wpływem wprowadzenia funkcji użyteczności do analizy. Może podejmowane krytyki prób naśladowania fizyki byłoby skuteczniejsze, gdyby zaprezentował przykłady i problemy wynikające z zastosowania konkretnych konceptów. Dobrym przykładem jest właśnie pokazany wcześniej problem z nieznajomością i zmiennością preferencji oraz ich odkrywaniem, które funkcja użyteczności ma opisywać. Zaobserwowane zachowania ludzi nie dają nam pełnej wiedzy o tym, jak mogą się oni zachować w innych okolicznościach, przez co element niepewności wiedzy i przyszłości — a przez to odkrywania — jest istotny nie tylko w rzeczywistości gospodarczej, ale także analizie ekonomicznej.

 

[1] Jako przykład może posłużyć chociażby cytowany przez Rothbarda George Stigler, który broni założenia o ciągłości. Murray N. Rothbard, Ekonomia wolnego rynku, Wrocław 2017, s. 268-269.

[2] Ibidem, s. 253-255.

[3] Murray N. Rothbard, Towards a reconstruction of utility and welfare economics, s. 9-16; https://mises.org/system/tdf/Toward%20a%20Reconstruction%20of%20Utility%20and%20Welfare%20Economics_3.pdf?file=1&type=document (dostęp: styczeń 2018).

[4] Murray N. Rothbard, Ekonomia wolnego rynku, Wrocław 2017, s. 266-268.

[5] Hal Varian, Mikroekonomia — kurs średni. Ujęcie nowoczesne, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 52.

[6] Dan Mahoney, On the Austrian Value Theory and Economic Calculation, s. 3; https://mises.org/system/tdf/Mahoney5.pdf?file=1&type=document (dostęp: styczeń 2018).

Źródło ilustracji: Pixabay.com, CC0 public domain

3 odpowiedzi na „Rapka: O kilku problemach z funkcją użyteczności”

  • Problem „keynesizacji” ekonomii jest poważny, gdyż pozwala budować absurdalne teorie interwencjonistyczne. Już sam Keynes nazwał swoje „dzieło” „Ogólna teoria …”. Dla tych, którzy nie są zorientowani, zwracam uwagę, że był to moment, gdy ogólna teoria względności Einsteina święciła największe triumfy i chyba nigdy jeszcze nauka nie była tak sławna na salonach i pod strzechami, jak w tamtym czasie. Była to oczywiście OGROMNA BEZCZELNOŚĆ ze strony Keynesa. Nie miał żadnych podstaw, aby swoje brednie nazywać „teorią”. Keynes był „Hahnemannem ekonomii” i podobnie jak Hahnemann musiał być świadomy, że jego teorie są INTELEKTUALNYM OSZUSTWEM. Tyle, że tak, jak homeopatia jest wygodna dla chorych i dla lekarzy, tak samo keynesizm był wygodny dla społeczeństwa (bo ludziom zdawało się że zaczynają rozumieć ekonomię) i dla polityków (bo mogli zacząć kraść naukowo”).
    .
    Tymczasem w ekonomii o siłach w niej działających i o procesach, na które te siły wpływają decyduje LUDZKA WOLA, a ta jest WOLNA. Nie da się WOLNEJ WOLI opisać liczbami ! Z DEFINICJI !
    .
    Ekonomia może natomiast posługiwać się WEKTORAMI. Przykładowo: nie wiemy, z jaką siłą ludzie będą preferowali kupno butów, żywności czy telefonów, ale możemy stwierdzić, że spadek ceny butów spowoduje wzrost ich zakupów. Nie wiemy, czy Wolny Rynek jest lepszy od społeczeństwa zorganizowanego nakazowo, jak w obozie koncentracyjnym, ale wiemy, że w warunkach Wolnego Rynku ludzie realizują swoją Wolną Wolę w stopniu WIĘKSZYM lub CO NAJMNIEJ RÓWNYM, jak w warunkach obozu koncentracyjnego. Obóz Koncentracyjny byłby tożsamy z Wolnym Rynkiem tylko wtedy, gdyby WSZYSTKIE decyzje nadzorcy PRZYPADKOWO pokrywały się DOKŁADNIE z preferencjami ludzi. Jest to oczywiście niemożliwe, nawet w sytuacji DOBREJ WOLI nadzorcy obozu, a przecież z doświadczenia wiemy, że nawet nadzorcy obozów chwilowo nieczynnych działali w sposób BIEGUNOWO ODLEGŁY od woli więźniów.
    .
    Ekonomiści popełniają więc błąd, że chcą kalkulować Wolną Wolę Człowieka, natomiast jak najbardziej mogą zajmować się SIŁAMI działającymi w ekonomii. I właśnie ten tok rozumowania przyjął Ludwig von Mises w Ludzkim Działaniu. Keynes, z uwagi na to, że był matematykiem i mu się ZDAWAŁO, że potrafi opisać ekonomię wzorami, więc skierował swój tok rozumowania na manowce. Jednocześnie pisał swoje pseudo-dzieło właśnie wtedy, gdy świat oszalał na punkcie doskonałości opisu przyrody (teorie Einsteina, teorie kwantów itp.), dzięki czemu jego brednie padły na podatny grunt, tak samo, jak 100 lat wcześniej brednie Hahnemanna.
    .
    Ekonofizyka ma bardzo wiele do zaoferowania ekonomii pod warunkiem, że nie przenosi się dosłownie ścisłego myślenia matematycznego z fizyki na ekonomię.

  • Cała analiza wychodzi z błędnego, założenia. Bowiem przedsiębiorca adresuje produkt do nieokreślonej grupy konsumentów, więc pojawia się pytanie czy istnieje coś takiego jak preferencja zbiorowa?. Biorąc na przykład zależność między produkcją samochodów a ich sprzedażą poszczególnym klientom, to widać wyraźnie, że indywidualna decyzja kupna nowego samochodu wynika z tak różnych okoliczności i dokonuje się raz na kilkanaście lat a produkcja to ileś samochodów dziennie. Więc mamy tu pewne zależności statystyczne powiązane z tyloma zmiennym, że jedyną racjonalną metodą jest metoda prób i błędów – temu też służą okresowe przeceny.

  • Jest tu jednak sporo problemów, przecież matematyka może ujmować też stosunki jakościowe. Sporo na ten temat pisał ksiądz Heller.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

Cytat:
  • Ekonomiczny problem społeczeństwa nie dotyczy zatem po prostu alokacji „danych” zasobów – jeśli słowo „danych” ma znaczyć: danych jednemu umysłowi świadomie rozwiązującemu problem stawiany przez te dane. Jest to raczej problem zapewnienia najlepszego wykorzystania zasobów znanych każdemu spośród członków społeczeństwa w celach, których względne znaczenia jemu tylko są znane. Krótko mówiąc, jest to problem wykorzystania wiedzy, która w całej swej pełni nikomu nie jest dana. Friedrich von Hayek
Mecenasi
Wspieraj Nas>>
We wrześniu wsparli nas:
Pan Michał Basiński
Pan Marek Bernaciak
Pan Wojciech Bielecki
Pan Bartosz Biernacki
Pan Rafał Boniecki
Pani Dominika Buczek
Pan Mirosław Cierpich
Pan Marcin Dabkus
Pan Michał Dębowski
Pan Wiktor Gonczaronek
Pan Jarosław Grycz
Pan Adrian Grzemski
Pan Maciej Grzymkowski
Pan Karol Handzel
Pan Tomasz Hrycyna
Państwo Paulina i Przemysław Hys
Pan Łukasz Jasiński
Pan Dominik Jaskulski
Pan Paweł Jegor
Pan Tomasz Jetka
Pan Gustaw Jokiel
Pan Dominik Jureczko
Pan Paweł Jurewicz
Pan Jan Kłosiński
Pan Jan Kochman
Pan Wojciech Kukla
Pan Konrad Kukulski
Pan Stanisław Kwiatkowski
Pan Tomasz Malinowski
Pan Miłosz Mazurkiewicz
Państwo Magdalena i Marcin Moroniowie
Pan Igor Mróz
Pani Maksym Mydłowski
Pan Tomasz Netczuk
Pan Filip Nowicki
Pan Zbigniew Ostrowski
Pan Mikołaj Pisarski
Pan Bartłomiej Podolski
Pan Paweł Pokrywka
Pan Artur Puszkarczuk
Pan Michał Puszkarczuk
Pan Jakub Sabała
Pan Adam Skrodzki
Pan Sławomir Sławianowski
Pan Michał Sobczak
Pan Radosław Sobieś
Pan Piotr Sowiński
Pan Łukasz Szostak
Pan Jan Tyszkiewicz
Pani Anna Wajs
Pan Adam Wasielewski
Pan Karol Więckowski
Pan Waldemar Wilczyński
Pan Tomasz Wojtasik
Pan Jakub Wołoszyn
Pani Mariola Zabielska-Romaszewska
Pan Waldemar Zdanowicz
Pan Karol Zdybel
Pracownik Santander Consumer Banku

Łącznie otrzymaliśmy 2 279,56 zł. Dziękujemy wszystkim Darczyńcom!

Znajdź się na liście>>
Lista mecenasów>>